数学 on 伊特瑞特

sin(x)导数求解

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

导数定义

$f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

对于sin(x)的导数

$\frac{d}{dx} \sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$

由三角函数的和角公式

$\sin(x + h) = \sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h)$

将其带入导数的定义中:

$\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h) - \sin(x)}{h}$

可以分解为：

$\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) \cos(h) - \sin(x) + \cos(x) \sin(h)}{h}= \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \cos(x) \frac{\sin(h)}{h}$

极限的计算

我们现在需要计算两个极限：

第一个极限：$(\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h})$

当$ (h \to 0)$ 时，$(\cos(h) \to 1)$，因此 $(\cos(h) - 1 \to 0)$，并且 $(\frac{\cos(h) - 1}{h})$ 的极限是 0。具体地：

Typora公式使用说明

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

原文地址:https://blog.csdn.net/qq_43444349/article/details/105400052

1. 公式输入

公式块(公式占整行)

菜单栏-段落-公式块
快捷键 Ctrl+Shift+M
$$+回车

行内公式

以单个$开头和结尾

2. 符号类

数学符号

类型	语法	示例
正无穷	+\infty	$+\infty$
负无穷	-\infty	$-\infty$
无穷	\infty	$\infty$
虚数	\imath、\jmath	$\imath、\jmath$
实数集	\mathbb{R}	$\mathbb{R}$
自然数集	\mathbb{Z}	$\mathbb{Z}$
空集	\emptyset	$\emptyset$

二元运算符

类型	语法	示例
正负	\pm	$\pm$
乘	\times	$\times$
除	\div	$\div$
点乘	\cdot	$\cdot$
星乘	\ast	$\ast$

三角运算符

类型	语法	示例
垂直	\bot	$\bot$
角	\angle	$\angle$
度	\circ	$\circ$

逻辑运算符

类型	语法	示例
并	\bigcup	$\bigcup$
交	\bigcap	$\bigcap$
逻辑与	\bigwedge	$\bigwedge$
逻辑或	\bigvee	$\bigvee$
异或	\bigoplus	$\bigoplus$
同或	\bigodot	$\bigodot$
同与	\bigotimes	$\bigotimes$
差集	\setminus	$\setminus$

关系运算符

类型	语法	示例
不等于	\neq	$\neq$
恒等	\equiv	$\equiv$
约等于	\approx	$\approx$
小于等于	\leq	$\leq$
大于等于	\geq	$\geq$
包含于	\subseteq	$\subseteq$
真包含于	\subset	$\subset$
不包括于	\not\subset	$\not\subset$
真包含	\supset	$\supset$
包含	\supseteq	$\supseteq$
不包含	\not\supset	$\not\supset$
属于	\in	$\in$
不属于	\not\in	$\not\in$

省略号

类型	语法	示例
省略号	\cdots	$\cdots$
省略号(与行线对齐)	\ldots	$\ldots$
省略号(斜对角)	\ddots	$\ddots$
省略号(竖直)	\vdots	$\vdots$

箭头

类型	语法	示例
左箭头	\leftarrow、\Leftarrow	$\leftarrow \Leftarrow$
右箭头	\rightarrow、\Rightarrow	$\rightarrow \Rightarrow$
长箭头	\longrightarrow、\Longrightarrow、\longleftarrow、\Longleftarrow	$\longrightarrow$ $\Longrightarrow$ $\longleftarrow$ $\Longleftarrow$
上箭头	\uparrow、\Uparrow	$\uparrow$ $\Uparrow$
下箭头	\downarrow、\Downarrow	$\downarrow$ $\Downarrow$
双向箭头	\leftrightarrow、\Leftrightarrow、\longleftrightarrow、\Longleftrightarrow	$\leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ $\longleftrightarrow$ $\Longleftrightarrow$

数学证明符号

类型	语法	示例
因为	\because	$\because$
所以	\therefore	$\therefore$
任意	\forall	$\forall$
存在	\exists	$\exists$

占位符

类型	语法	示例
双quad空格	x\qquad y	$x\qquad y$
quad空格	x\quad y	$x\quad y$
大空格	x\ y	$x\ y$
中空格	x\:y	$x:y$
小空格	x,y	$x,y$
紧贴	x\!y	$x!y$
换行	x\\y	$x\y$

定界符(括号类)

类型	语法	示例
括号	(),\big(\big),\Big(\Big),\bigg(\bigg),\Bigg(\Bigg)	$(),\big(\big),\Big(\Big),\bigg(\bigg),\Bigg(\Bigg)$
中括号	[],\big[\big],\Big[\Big],\bigg[\bigg],\Bigg[\Bigg]	$[],\big[\big],\Big[\Big],\bigg[\bigg],\Bigg[\Bigg]$
大括号	\{\},\big\{\big\},\Big\{\Big\},\bigg\{\bigg\},\Bigg\{\Bigg\}	${},\big{\big},\Big{\Big},\bigg{\bigg},\Bigg{\Bigg}$
自适应	\left(x\right)	$\left(x\right)$
上括号	\overbrace{x+y} , \overbrace{1+2+\cdots+99+100}^{5050}	$\overbrace{x+y} , \overbrace{1+2+\cdots+99+100}^{5050}$
下括号	\underbrace{x+y} , \underbrace{1+2+\cdots+99+100}_{5050}	$\underbrace{x+y} , \underbrace{1+2+\cdots+99+100}_{5050}$

希腊字母

语法(大写)	示例	语法(小写)	示例
A	$A$	\alpha	$\alpha$
B	$B$	\beta	$\beta$
\Gamma	$\Gamma$	\gamma	$\gamma$
\Delta	$\Delta$	\delta	$\delta$
E	$E$	\epsilon	$\epsilon$
		\varepsilon	$\varepsilon$
Z	$Z$	\zeta	$\zeta$
H	$H$	\eta	$\eta$
\Theta	$\Theta$	\theta	$\theta$
I	$I$	\iota	$\iota$
K	$K$	\kappa	$\kappa$
\Lambda	$\Lambda$	\lambda	$\lambda$
M	$M$	\mu	$\mu$
N	$N$	\nu	$\nu$
\Xi	$\Xi$	\xi	$\xi$
O	$O$	\omicron	$\omicron$
\Pi	$\Pi$	\pi	$\pi$
P	$P$	\rho	$\rho$
\Sigma	$\Sigma$	\sigma	$\sigma$
T	$T$	\tau	$\tau$
\Upsilon	$\Upsilon$	\upsilon	$\upsilon$
\Phi	$\Phi$	\phi	$\phi$
		\varphi	$\varphi$
X	$X$	\chi	$\chi$
\Psi	$\Psi$	\psi	$\psi$
\Omega	$\Omega$	\omega	$\omega$

根号

类型	语法	示例
二次根式	\sqrt{2}	$\sqrt{2}$
任意次根式	\sqrt[3]{27}	$\sqrt[3]{27}$

其他符号

类型	语法	示例
竖线	\mid	$\mid$
上划线	\overline{x}	$\overline{x}$
期望值	\hat{x}	$\hat{x}$

3. 表示类

上/下标

类型	语法	示例
上标	x^2	$x^2$
下标	x_1	$x_1$

分数

类型	语法	示例
分数	\frac{1}{2}	$\frac{1}{2}$

三角函数

类型	语法	示例
正弦	\sin	$\sin$
余弦	\cos	$\cos$
正切	\tan	$\tan$
正割	\sec	$\sec$
余割	\csc	$\csc$
反正弦	\arcsin	$\arcsin$
反余弦	\arccos	$\arccos$
反正切	\arctan	$\arctan$

对数函数

类型	语法	示例
对数	\log_28	$\log_28$
自然对数	\ln2	$\ln2$
常用对数	\lg10	$\lg10$

绝对值

类型	语法	示例
绝对值	\|x\|	$

矢量(向量)

类型	语法	示例
矢量	\vec{a}	$\vec{a}$

积分

类型	语法	示例
不定积分	\int{f(x)}{\rm d}x	$\int{f(x)}{\rm d}x$
定积分	\int_{1}^{2}{f(x)}{\rm d}x	$\int_{1}^{2}{f(x)}{\rm d}x$
二重积分	\iint_{1}^{2}{f(x)}{\rm d}x	$\iint_{1}^{2}{f(x)}{\rm d}x$
三重积分	\iiint_{1}^{2}{f(x)}{\rm d}x	$\iiint_{1}^{2}{f(x)}{\rm d}x$
曲线积分	\oint{f(x)}{\rm d}s	$\oint{f(x)}{\rm d}x$

极限

类型	语法	示例
极限(无下标)	\lim{a+b}	$\lim{a+b}$
极限(含下标)	\lim_{n\rightarrow+\infty}	$\lim_{n\rightarrow+\infty}$

导数

类型	语法	示例
一阶导数符号	\prime	$f\prime(x)$
二阶导数符号	\prime\prime	$f\prime\prime(x)$

微分

类型	语法	示例
偏导数	\partial	$\frac{\partial_x}{\partial_y}$

梯度

类型	语法	示例
梯度	\nabla	$\nabla$

累加

类型	语法	示例
累加	\sum{a}	$\sum{a}$
累加(含范围)	\sum_{n=1}^{100}{a_n}	$\sum_{n=1}^{100}{a_n}$

累乘

类型	语法	示例
累乘	\prod{x}	$\prod{x}$
累乘(含范围)	\prod_{n=1}^{100}{a_n}	$\prod_{n=1}^{100}{a_n}$

矩阵

类型	语法	示例
矩阵	\left[\begin{matrix} &分隔同行元素，\\换行 \end{matrix}\end]	$\left[\begin{matrix}1&x&x^2\1&y&y^2\1&z&z^2\end{matrix}\right]$

行列式

类型	语法	示例
行列式	\left\|begin{matrix} &分隔同行元素，\\换行 \end{matrix}\right\|	$\left

分段函数/方程组

类型	语法	示例
分段函数	函数名=\begin{cases} 公式1 & 条件1 \\ 公式2 & 条件2 \\ 公式3 & 条件3 \end{cases}	$f(x)=\begin{cases}x/2,&x>0\3x+1\end{cases}$

4. 字体

字体	语法	示例
罗马体	\rm	$\rm Rome$
意大利体	\it	$\it Italy$
黑体	\bf	$\bf Black$
花体	\cal	$\cal Hello$
等线体	\sf	$\sf Arial$
数字斜体	\mit	$\mit 1234567890$
打字机字体	\tt	$\tt TypeWriter$

导数的定义

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

导数的定义为：

在点 $x$ 处的导数是函数 $f(x)$在改点的瞬时变化率。形式上，函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的导数定义为极限： $$ f’(x)=lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ 这个极限如果存在，则称 $f(x)$ 在 $x$ 出可导。

导数法则

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

原文路径:https://www.shuxuele.com/calculus/derivatives-rules.html

常见函数的导数

常见函数	函数	导数
常数	$c$	0
直线	$x$	1
	$ax$	a
平方	$x^2$	$2x$
	$x^n$	$nx^{n-1}$
平方根	$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
指数	$e^x$	$e^x$
	$a^x$	$\ln(a)a^x$
对数	$\ln(x)$	$\frac{1}{x}$
	$\log_a(x)$	$\frac{1}{x \ln(a)}$
三角($x$的单位是弧度)	$\sin(x)$	$\cos(x)$
	$\cos(x)$	$-\sin(x)$
	$\tan(x)$	$\sec^2(x)$
反三角	$\sin^{-1}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
	$\cos^{-1}(x)$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
	$\tan^{-1}(x)$	$\frac{1}{1+x^2}$

导数法则

对数求底

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

指数对数求底

已知$x^n=y$ 对应对数 $\log_xy=n$ ,求$x$

可以根据换底公式

$\log_an=\frac{\ln(n)}{\ln(a)}=y$

$\Rightarrow \ln(a)=\frac{\ln(n)}{y}$

$\Rightarrow a= e^{(\frac{\ln(n)}{y})}$

二次方程解的推导过程

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

二次方程解的推导过程

二次方程看起来像这样： $$ ax^2+bx+c=0 $$

该式子很像完全平方公式的展开式 $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$

我们可以用配方法来对二次方程进行转变

步骤	式子
开始	$ax^2+bx+c=0$
除以a	$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
把$\frac{c}{a}$移到另一边	$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
两边加 $(\frac{b}{2a})^2$ 进行配方形成完全平方公式的展开式	$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$
有完全平方公式可得	$(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$
只有一个x变量，开始解x,取平方根	$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$
把$\frac{b}{2a}$右移	$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$
右边乘以2a 再除以2a	$x=\frac{-b\pm\sqrt{-\frac{c}{a}\times(2a)^2+(\frac{b}{2a})^2\times(2a)^2}}{2a}$
简化得	$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

数学中常见的恒等式

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

数学中常见的恒等式

左	等号	右
$a^2 − b^2$	=	$(a+b)(a−b)$
$a^2 + 2ab + b^2$	=	$(a+b)(a+b)$
$a^2 − 2ab + b^2$	=	$(a−b)(a−b)$
$a^3 + b^3$	=	$(a+b)(a^2−ab+b^2)$
$a^3 − b^3$	=	$(a−b)(a^2+ab+b^2)$
$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$	=	$(a+b)^3$
$a^3−3a^2b+3ab^2−b^3$	=	$(a−b)^3$