sin(x)导数求解

导数定义

$f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

对于sin(x)的导数

$\frac{d}{dx} \sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$

由三角函数的和角公式

$\sin(x + h) = \sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h)$

将其带入导数的定义中:

$\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h) - \sin(x)}{h}$

可以分解为：

$\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) \cos(h) - \sin(x) + \cos(x) \sin(h)}{h}= \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \cos(x) \frac{\sin(h)}{h}$

极限的计算

我们现在需要计算两个极限：

• 第一个极限：$(\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h})$

  当$ (h \to 0)$ 时，$(\cos(h) \to 1)$，因此 $(\cos(h) - 1 \to 0)$，并且 $(\frac{\cos(h) - 1}{h})$ 的极限是 0。具体地：

  $[ \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} = 0 ]$

  所以第一个极限是：

  $[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} = \sin(x) \cdot 0 = 0 ]$

• 第二个极限：$(\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h})$

  这个极限是一个经典的结果，它的值是 1：

  $[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 ]$

  因此，第二个极限是：

  $[ \lim_{h \to 0} \cos(x) \frac{\sin(h)}{h} = \cos(x) \cdot 1 = \cos(x) ]$

总结

结合以上结果，我们得到：

$[ \frac{d}{dx} \sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = 0 + \cos(x) = \cos(x) ]$

因此，$(\sin(x)) $的导数是 $(\cos(x))$。