导数

导数定义 $f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ 对于sin(x)的导数 $\frac{d}{dx} \sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$ 由三角函数的和角公式 $\sin(x + h) = \sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h)$ 将其带入导数的定义中: $\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h) - \sin(x)}{h}$ 可以分解为： $\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) \cos(h) - \sin(x) + \cos(x) \sin(h)}{h}= \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \cos(x) \frac{\sin(h)}{h}$ 极限的计算 我们现在需要计算两个极限： 第一个极限：$(\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h})$ 当$ (h \to 0)$ 时，$(\cos(h) \to 1)$，因此 $(\cos(h) - 1 \to 0)$，并且 $(\frac{\cos(h) - 1}{h})$ 的极限是 0。具体地： ...

导数的定义为： 在点 $x$ 处的导数是函数 $f(x)$在改点的瞬时变化率。形式上，函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的导数定义为极限： $$ f’(x)=lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ 这个极限如果存在，则称 $f(x)$ 在 $x$ 出可导。

原文路径:https://www.shuxuele.com/calculus/derivatives-rules.html 常见函数的导数 常见函数 函数 导数 常数 $c$ 0 直线 $x$ 1 $ax$ a 平方 $x^2$ $2x$ $x^n$ $nx^{n-1}$ 平方根 $\sqrt{x}$ $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ 指数 $e^x$ $e^x$ $a^x$ $\ln(a)a^x$ 对数 $\ln(x)$ $\frac{1}{x}$ $\log_a(x)$ $\frac{1}{x \ln(a)}$ 三角($x$的单位是弧度) $\sin(x)$ $\cos(x)$ $\cos(x)$ $-\sin(x)$ $\tan(x)$ $\sec^2(x)$ 反三角 $\sin^{-1}(x)$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\cos^{-1}(x)$ $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\tan^{-1}(x)$ $\frac{1}{1+x^2}$ 导数法则 ...