导数 on 伊特瑞特

sin(x)导数求解

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

导数定义

$f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

对于sin(x)的导数

$\frac{d}{dx} \sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$

由三角函数的和角公式

$\sin(x + h) = \sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h)$

将其带入导数的定义中:

$\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h) - \sin(x)}{h}$

可以分解为：

$\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x) \cos(h) - \sin(x) + \cos(x) \sin(h)}{h}= \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h} + \cos(x) \frac{\sin(h)}{h}$

极限的计算

我们现在需要计算两个极限：

第一个极限：$(\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x) (\cos(h) - 1)}{h})$

当$ (h \to 0)$ 时，$(\cos(h) \to 1)$，因此 $(\cos(h) - 1 \to 0)$，并且 $(\frac{\cos(h) - 1}{h})$ 的极限是 0。具体地：

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

导数的定义为：

在点 $x$ 处的导数是函数 $f(x)$在改点的瞬时变化率。形式上，函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的导数定义为极限： $$ f’(x)=lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ 这个极限如果存在，则称 $f(x)$ 在 $x$ 出可导。

Wed, 25 Sep 2024 10:30:00 +0800

原文路径:https://www.shuxuele.com/calculus/derivatives-rules.html

常见函数的导数

导数法则